Question

1．已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=log₈（x+1），則f（-2013）+f（2014）的值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件便可得出函數(shù)f（x）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）為周期為4的函數(shù)，且f（x）為偶函數(shù)，從而可得出f（-2013）+f（2014）=f（1）+f（2），而由f（x+2）=-f（x）可以得出f（2）=f（0），這樣帶入x∈[0，2）時(shí)的解析式便可求出f（1）+f（2）的值，從而得出答案．

解答 解：f（x）=-f（x+2）=-[-f（x+4）]=f（x+4）；
∴x≥0時(shí)，f（x）是周期為4的函數(shù)；
又f（x）為偶函數(shù)；
∴f（-2013）+f（2014）=f（2013）+f（2014）
=f（1+503×4）+f（2+503×4）
=f（1）+f（2）
=f（1）+f（-2）
=f（1）-f（0）
=log₈2-log₈1
=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查偶函數(shù)的定義，周期函數(shù)的定義，以及已知函數(shù)求值的方法．