Question

8．（文科學生做）已知函數(shù)f（x）=sinx-$\sqrt{3}$cosx．
（1）求f（x）在（0，π）上的單調遞增區(qū)間；
（2）若f（θ）=-$\frac{6}{5}$（0＜θ＜π），求sinθ的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，利用輔助角公式將函數(shù)化簡，整體代入求出其單調增區(qū)間；
（2）將f（θ）=-$\frac{6}{5}$代入（1）中化簡的函數(shù)里，得到關于θ的方程，利用0＜θ＜π判斷其取值情況，求出sinθ．

解答 解：由題意得：
（1）f（x）=sinx-$\sqrt{3}$cosx=2sin（x-$\frac{π}{3}$），
所以當$-\frac{π}{2}+2kπ≤$x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z），
所以$-\frac{π}{6}+2kπ$≤x$≤\frac{5π}{6}+2kπ$，（k∈Z），
又因為x∈（0，π），
所以增區(qū)間為（0，$\frac{5π}{6}$）；
（2）因為f（θ）=-$\frac{6}{5}$（0＜θ＜π），
所以由（1）可知，2sin（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{6}{5}$，
所以sin（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$，
又因為0＜θ＜π，
所以-$-\frac{π}{3}＜$θ-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
所以cos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，
所以sinθ=sin（$θ-\frac{π}{3}+\frac{π}{3}$）=sin（$θ-\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+cos（$θ-\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{1}{2}+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
所以sinθ=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．

點評 （1）本題考察學生對輔助角公式，較易；難點三角函數(shù)單調性的求解，需要學生對整體代入法能熟練掌握；
（2）本題難點及解題關鍵是利用已知條件構造出和差公式形式，需要學生靈活應用公式．