Question

6．已知點N（1，3），若橢圓3x²+y²=λ上存在兩點A、B，使得$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NB}$，且線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點．
（1）求直線AB的方程；
（2）是否存在λ，使得A、B、C、D四點共圓？若存在，寫出圓的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設直線AB的方程為y=k（x-1）+3，代入3x²+y²=λ，整理得：（k²+3）x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0，然后結合題設條件由根與經數(shù)的關系和根的判別式能夠求出直線AB的方程．
（2）由題意知直線CD的方程為x-y+2=0代入橢圓方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．由弦長公式可得|CD|．將直線AB的方程x+y-4=0代入橢圓方程得4x²-8x+16-λ=0．同理可得|AB|．由此可以推出存在這樣的λ，使得A、B、C、D四點在同一個圓上．

解答 解：（1）依題意，可設直線AB的方程為y=k（x-1）+3，
代入3x²+y²=λ，整理得：（k²+3）x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0，①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩個不同的根，
∴△=4[λ（k²+3）-3（k-3）²]＞0，②
且x₁+x₂=$\frac{2k（k-3）}{k+3}$．
由N（1，3）是線段AB的中點，得x₁+x₂=2，
∴k（k-3）=k²+3解得k=-1，代入②得λ＞12，
即λ的取值范圍是（12，+∞）．
于是直線AB的方程為y-3=-（x-1），即x+y-4=0．
（2）∵CD垂直平分AB，
∴直線CD的方程為y-3=x-1，即x-y+2=0代入橢圓方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．③
又設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），CD的中點為M（x₀，y₀），
則x₃，x₄是方程③的兩根，
∴x₃+x₄=-1，且x₀=$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=-$\frac{1}{2}$，y₀=x₀+2=$\frac{3}{2}$，即M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
于是由弦長公式可得|CD|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•|x₃-x₄|=$\sqrt{2（λ-3）}$．④
將直線AB的方程x+y-4=0代入橢圓方程得4x²-8x+16-λ=0．⑤
同理可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{2（λ-12）}$．⑥
∵當λ＞12時，$\sqrt{2（λ-3）}$＞$\sqrt{2（λ-12）}$，
∴|AB|＜|CD|．
假設存在λ＞12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心．
點M到直線AB的距離為d=$\frac{|-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．⑦
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|²=|MB|²=d²+$|\frac{AB}{2}{|}^{2}$=$\frac{λ-3}{2}$=$|\frac{CD}{2}{|}^{2}$．
故當λ＞12時，A、B、C、D四點均在以M為圓心，|$\frac{CD}{2}$|為半徑的圓上．

點評 本題綜合考查直線和橢圓的位置關系，考查圓的方程，考查學生分析解決問題的能力，難度較大，