Question

15．已知：矩形A₁ABB₁，且AB=2AA₁，C₁，C分別是A₁B₁、AB的中點(diǎn)，D為C₁C中點(diǎn)，將矩形A₁ABB₁沿著直線C₁C折成一個(gè)60°的二面角，如圖所示．

（Ⅰ）求證：AB₁⊥A₁D；
（Ⅱ）求AB₁與平面A₁B₁D所成角的正弦值．．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)AB、A₁B₁，則可證明幾何體ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．取BC中點(diǎn)O，B₁C₁的中點(diǎn)O₁，連結(jié)OA，OO₁，以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)AA₁=2，求出$\overrightarrow{A{B}_{1}}$和$\overrightarrow{{A}_{1}D}$的坐標(biāo)，通過計(jì)算$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0$得出AB₁⊥A₁D；
（II）求出平面A₁B₁D的法向量$\overrightarrow{n}$，則AB₁與平面A₁B₁D所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{A{B}_{1}}$＞|．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)AB、A₁B₁，
∵C₁，C分別是矩形A₁ABB₁邊A₁B₁、AB的中點(diǎn)，
∴AC⊥CC₁，BC⊥CC₁，AC∩BC=
∴CC₁⊥面ABC
∴∠ACB為二面角A-CC'-A'的平面角，則∠ACB=60°．
∴△ABC為正三角形，即幾何體ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．
取BC中點(diǎn)O，B₁C₁的中點(diǎn)O₁，連結(jié)OA，OO₁，則OA⊥平面BB₁C₁C，OO₁⊥BC．
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OO₁，OA的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)AA₁=2，則A（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（1，2，0），D（-1，1，0），A₁（0，2，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A_1}D}=（-1，-1，-\sqrt{3}）$，
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}D}$=1×（-1）+2×（-1）+（-$\sqrt{3}$）×（-$\sqrt{3}$）=0，
∴$\overrightarrow{A{B_1}}⊥\overrightarrow{{A_1}D}$
∴AB₁⊥A₁D．
（Ⅱ）$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面A₁B₁D的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．則$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$，$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{{A_1}D}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}x-\sqrt{3}z=0\\-x-y-\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，-2\sqrt{3}，1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{A{B}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{A{B}_{1}}|}$=$\frac{-4\sqrt{3}}{4•2\sqrt{2}}$=-$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
∴AB₁與平面A₁B₁D所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．