Question

9．設(shè)a＞0，f（x）=$\frac{x}{x-a}$，g（x）=e^xf（x）（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線y=f（x）與y=g（x）在x=0處有相同的切線，求公切線方程．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點；求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，即可得到所求切線的方程．

解答 解：f（x）=$\frac{x}{x-a}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-$\frac{a}{（x-a）^{2}}$，
在x=0處的切線的斜率為-$\frac{1}{a}$，切點為（0，0），
則切線的方程為y=-$\frac{1}{a}$x；
g（x）=e^xf（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=e^x•$\frac{{x}^{2}-ax-a}{（x-a）^{2}}$，
在x=0處的切線的斜率為-$\frac{1}{a}$，切點為（0，0），
故公切線的方程為y=-$\frac{1}{a}$x．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運算能力，屬于中檔題．