Question

已知命題P：實(shí)數(shù)a滿足|a-1|＜6，命題Q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x≥0}且A∩B=∅．
（1）求命題Q為真命題時的實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)P，Q皆為真時a的取值范圍為集合S，T={y|y=x+

m

x

，x∈R，m＞0}，若∁_RT⊆S，求m取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：補(bǔ)集及其運(yùn)算

專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用,集合

分析：（1）若命題Q為真命題，則設(shè)x²+（a+2）x+1=0判別式為△，當(dāng)△＜0時，A=∅，此時△＜0，當(dāng)△≥0時，由A∩B=∅得

△≥0 x1+x2=-(a+2)＜0

，解得，再求并集即可；
（2）求得P，Q皆為真時a的取值范圍為集合S=（-4，7），再化簡集合T，注意運(yùn)用基本不等式，再求補(bǔ)集，最后根據(jù)集合的包含關(guān)系，列出不等式，解出即可．

解答： 解：（1）若命題Q為真命題，則設(shè)x²+（a+2）x+1=0判別式為△，
當(dāng)△＜0時，A=∅，此時△=（a+2）²-4＜0，-4＜a＜0；
當(dāng)△≥0時，由A∩B=∅得

△≥0 x1+x2=-(a+2)＜0

，即有

a≥0或a≤-4 a＞-2

，解得a≥0．
綜上可得，a＞-4；
（2）若命題P為真，則|a-1|＜6，解得-5＜a＜7．
則有P，Q皆為真時a的取值范圍為集合S=（-4，7），
由于T={y|y=x+

m

x

，x∈R，m＞0}={y|y≥2

m

或y≤-2

m

}，
則∁_RT={y|-2

m

＜y＜2

m

}，
由于∁_RT⊆S，則有2

m

≤7且-2

m

≥-4，即有0＜m≤

49

4

且0＜m≤4，
解得0＜m≤4．
故m的取值范圍是（0，4]．

點(diǎn)評：本題考查二次方程根的分布，注意運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，考查集合的包含關(guān)系，以及集合的化簡和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯題．