Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上任一點．

（Ⅰ）求證：無論E點取在何處恒有；
（Ⅱ）設(shè)，當平面EDC平面SBC時，求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下求二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

試題分析：(Ⅰ)連接，過點作，交于點，先證明，再由得到，依據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知，，從而由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可得到；(Ⅱ) 分別以，，所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標系，根據(jù)，求得，由，以及，，分別取平面和平面的法向量和，則由已知條件“”可得，從而解出的值；(Ⅲ)當時，，分別求出平面和平面的一個法向量，求出它們的法向量的夾角，根據(jù)二面角是一個鈍角，那么法向量的夾角或夾角的補角即是所求的二面角.
試題解析：(Ⅰ)連接，過點作，交于點，如圖：

∵，∴，
又∵，∴，
∴，又，∴，
∵，∴，
∵，∴.
(Ⅱ)分別以，，所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖：

設(shè)，則，
∵，，，，
所以，，
取平面的一個法向量，
∵，，取平面的一個法向量，
∴.
（Ⅲ）當時，，，，，，
取平面的一個法向量，
取平面的一個法向量，則，
∴二面角為.