Question

3．已知雙曲線C為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），其左右頂點(diǎn)分別為A、B，曲線上一點(diǎn)P，k_PA、k_PB分別為直線PA、PB的斜率，且k_PA•k_PB=3，過左焦點(diǎn)的直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)M，N，|MN|的最小值為4，則雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• B． $\frac{9{x}^{2}}{4}$-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{9{x}^{2}}{4}$-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1和$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1或$\frac{9{x}^{2}}{4}$-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），代入雙曲線的方程，由A（-a，0），B（a，0），k_PA•k_PB=3，運(yùn)用直線的斜率公式化簡可得b=$\sqrt{3}$a，討論M，N均在左支和分別在兩支，由最小值為$\frac{2^{2}}{a}$=4，和2a=4，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：設(shè)P（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，即有$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
由A（-a，0），B（a，0），k_PA•k_PB=3，
可得$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=3，即為b=$\sqrt{3}$a，
由過左焦點(diǎn)的直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)M，N，|MN|的最小值為4，
可得當(dāng)M，N都在左支上，即有MN垂直于x軸時取得最小值，且為$\frac{2^{2}}{a}$=4，
解得a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可得雙曲線的方程為$\frac{9{x}^{2}}{4}$-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1；
當(dāng)M，N分別在兩支上，即有MN的最小值為2a=4，即a=2，b=2$\sqrt{3}$，
可得雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
綜上可得，雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1或$\frac{9{x}^{2}}{4}$-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用討論的思想方法，考查直線的斜率公式和點(diǎn)滿足雙曲線的方程，以及雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題和易錯題．