【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x).
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=g(x),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤ ,求t的最小值;
(2)當(dāng)n∈N*時(shí),證明:

【答案】
(1)解: f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)= ,

f(0)=0,f′(0)=1,切線的方程為y=x,即g(x)=x,

當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤ ,即為

ln(x+1)﹣ ≤0,x≥0恒成立.

設(shè)h(x)=ln(x+1)﹣ ,x≥0,

h(x)≤0,h(1)≤0即t≥﹣1+2ln2>0.

h′(x)= = =﹣ ,

當(dāng)0<t< 時(shí),0<x< 時(shí),h′(x)>0,h(x)遞增,

故0<x< 時(shí),h(x)>h(0)=0,與x≥0,h(x)≤h(0)=0,相矛盾,則0<t< 不合題意.

當(dāng)t= 時(shí),h′(x)=﹣ <0,h(x)在[0,+∞)遞減,

故當(dāng)x≥0時(shí),h(x)≤h(0)=0,因此t的最小值為 ;


(2)證明:由(1)可得ln(1+x)< ,x≥0,x=0時(shí)取得等號(hào).

取x= ,ln = + ),

則ln + ),(1)

ln + ),(2)

…,ln + ),(n)

將n個(gè)不等式相加,由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可得

ln2=ln( )< + +…+ + ),


【解析】(1)求出導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率和切點(diǎn),可得切線的方程,即g(x)=x.由題意可得ln(x+1)﹣ ≤0,x≥0恒成立.設(shè)h(x)=ln(x+1)﹣ ,x≥0,求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間,可得最小值;(2)由(1)可得ln(1+x)< ,x≥0,x=0時(shí)取得等號(hào).取x= ,ln = + ),運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和累加法,及不等式的性質(zhì),即可得證.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).

(1)求的值;

(2)求函數(shù)的最小值;

(3)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有 成立,且.

(1)求的值;

(2)求的解析式;

(3)已知,設(shè):當(dāng)時(shí),不等式 恒成立;Q:當(dāng)時(shí),是單調(diào)函數(shù)。如果滿足成立的的集合記為,滿足Q成立的的集合記為,求A∩(CRB)(為全集).

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【題目】甲、乙兩個(gè)班級(jí)共有105名學(xué)生,某次數(shù)學(xué)考試按照“大于等于85分為優(yōu)秀,85分以下為非優(yōu)秀”的原則統(tǒng)計(jì)成績后,得到如下列聯(lián)表。

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計(jì)

甲班

10

乙班

30

總計(jì)

105

已知從甲、乙兩個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取1名學(xué)生,其成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為.

(1)請完成上面的列聯(lián)表;

(2)能否有把握認(rèn)為成績與班級(jí)有關(guān)系?

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【題目】在極坐標(biāo)系中,已知某曲線C的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為

1求該曲線C的直角坐標(biāo)系方程及離心率

2已知點(diǎn)為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最大值。

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【題目】響應(yīng)“文化強(qiáng)國建設(shè)”號(hào)召,某市把社區(qū)圖書閱覽室建設(shè)增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求,隨機(jī)抽取市民200人做調(diào)查,統(tǒng)計(jì)顯示,男士喜歡閱讀古典文學(xué)的有64人,不喜歡的有56人;女士喜歡閱讀古典文學(xué)的有36人,不喜歡的有44人.

(1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.25的前提下認(rèn)為喜歡閱讀古典文學(xué)與性別有關(guān)系?

(2)為引導(dǎo)市民積極參與閱讀,有關(guān)部門牽頭舉辦市讀書交流會(huì),從這200人中篩選出5名男代表和4名代表,其中有3名男代表和2名女代表喜歡古典文學(xué).現(xiàn)從這9名代表中任選3名男代表和2名女代表參加交流會(huì),記為參加交流會(huì)的5人中喜歡古典文學(xué)的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望

附:,其中

參考數(shù)據(jù):

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某小學(xué)為迎接校運(yùn)動(dòng)會(huì)的到來,在三年級(jí)招募了16名男志愿者和14名女志愿者.調(diào)查發(fā)現(xiàn),男、女志愿者中分別各有10人和6人喜歡運(yùn)動(dòng),其余人員不喜歡運(yùn)動(dòng).

1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表,并說明是否有95%的把握認(rèn)為性別與喜歡運(yùn)動(dòng)有關(guān);

喜歡運(yùn)動(dòng)

不喜歡運(yùn)動(dòng)

總計(jì)

總計(jì)

2)如果喜歡運(yùn)動(dòng)的女志愿者中恰有4人懂得醫(yī)療救護(hù),現(xiàn)從喜歡運(yùn)動(dòng)的女志愿者中抽取2名負(fù)責(zé)處理應(yīng)急事件,求抽出的2名志愿者都懂得醫(yī)療救護(hù)的概率.

附:K2,

P(K2k0)

0.050

0.025

0.010

0.001

k0

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知4sin2
(1)求角C的大;
(2)若c= ,求a﹣b的取值范圍.

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【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)是否存在斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),使得 是橢圓的左焦點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.

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