Question

5．已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且$\sqrt{3}bcosC=csinB$；
（1）求角C；
（2）若$c=\sqrt{3}$，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得：$\sqrt{3}$sinBcosC=sinCsinB，結(jié)合sinB≠0，可得：tanC=$\sqrt{3}$，結(jié)合范圍C∈（0，π），即可得解C的值．
（2）利用正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得：三角形的周長(zhǎng)l=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，根據(jù)A的范圍，和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}bcosC=csinB$，
∴利用正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinBcosC=sinCsinB，
∵B為三角形內(nèi)角，sinB≠0，
∴可得：tanC=$\sqrt{3}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵由（1）及題意可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，
∴三角形的周長(zhǎng)l=a+b+c=2sinA+2sinB+$\sqrt{3}$=2sinA+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，l=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$∈（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．
故△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．