Question

13．已知f（x）=sin²（$\frac{π}{6}$-x）-cos²（$\frac{π}{4}$+x）+cos$\frac{π}{6}$cos（$\frac{π}{6}$-2x）
（1）化簡f（x），求f（x）的最小值，指出此時(shí)x的值．
（2）若g（x）=$\frac{1}{2}$（cos2x-sin2x），問f（x）的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到g（x）的圖象．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最小值，以及此時(shí)x的值．
（2）由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=sin²（$\frac{π}{6}$-x）-cos²（$\frac{π}{4}$+x）+cos$\frac{π}{6}$cos（$\frac{π}{6}$-2x）
=$\frac{1-cos（\frac{π}{3}-2x）}{2}$-$\frac{1+cos（\frac{π}{2}+2x）}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（$\frac{π}{6}$-2x）
=-$\frac{cos（\frac{π}{3}-2x）}{2}$-$\frac{-sin2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（$\frac{π}{6}$-2x）
=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x）
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
故f（x）的最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時(shí)2x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，即x=kπ-$\frac{π}{8}$，k∈z．
（2）由于g（x）=$\frac{1}{2}$（cos2x-sin2x）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{3π}{4}$），
故把f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$） 的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，可得y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{3π}{4}$）=g（x）的圖象．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．