Question

8．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2014x-2015，x≤0}\\{2-x+lnx，x＞0}\end{array}\right.$，則函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由題意可得，f（x）在（-∞，0]上有唯一零點-2015．當x＞0時，利用導數(shù)研究函數(shù)的極大值為f（1）=1，再根據當x趨于正無窮大時，f（x）趨于負無窮大；當x趨于0時，f（x）趨于負無窮大，可得f（x）在（0，+∞）上有2個零點，綜合可得結論．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2014x-2015，x≤0}\\{2-x+lnx，x＞0}\end{array}\right.$，即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2015）（x-1），x≤0}\\{2-x+lnx，x＞0}\end{array}\right.$，則f（x）在（-∞，0]上有唯一零點-2015．
當x＞0時，f（x）=2-x+lnx，f′（x）=-1+$\frac{1}{x}$，在（0，1）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；在（1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
故當x=1時，f（x）取得最大值為1．
又當x趨于正無窮大時，f（x）趨于負無窮大；當x趨于0時，f（x）趨于負無窮大，故f（x）在（0，+∞）上有2個零點．
綜上可得，f（x）在R上的零點個數(shù)為3，如圖：
故選：C．

點評 本題主要考查方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉化、分類討論、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．