Question

8．（理）把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，形成三棱錐C-ABD，它的主視圖與俯視圖如圖所示，則二面角C-AB-D的正切值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據三視圖以及二面角的定義，作出二面角的平面角，利用三角形的邊角關系進行求解即可．

解答 解：設折疊前C點的位置為C'，AC、BD的交點為O，
∵根據三視圖，可得平面BCD⊥平面ABD，平面BCD∩平面ABD=BD且CO⊥BD
∴CO⊥平面ABD
∵OC'?平面ABD，∴CO⊥OC'
∵CO=C'O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴CC'=$\sqrt{O{C}^{2}+C'{O}^{2}}$=1=1，
取AB的中點M．連接OM，CM，
則OM⊥AB，CM⊥AB，
則∠CMA是二面角C-AB-D的平面角，
∵DC'=DC=1，
∴tan∠CMA=$\frac{OC}{OM}$$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$

點評 本題主要考查二面角的求解，以及三視圖的應用，利用定義法是解決本題的關鍵．