Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)，直線交曲線于兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，且，當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），曲線：；（Ⅱ）或．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）將直線的參數(shù)方程消去參數(shù)可得普通方程，利用轉(zhuǎn)化公式可將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．（Ⅱ）根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義求解，并結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)可得當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)最大．然后利用參數(shù)方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：

（Ⅰ）由（為參數(shù)）消去參數(shù)可得，

∴直線的普通方程為．

由可得，

將代入上式可得，

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為．

（Ⅱ）設(shè)直線上的三點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，

將代入，

整理得，

則，

與異號(hào)，

由，得，

當(dāng)，即時(shí)，最大，此時(shí)最大，

且，此時(shí)，代入可得此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．