【題目】已知橢圓E: =1(a>b>0)的一個焦點(diǎn)與短軸的兩個端點(diǎn)是正三角形的三個頂點(diǎn),點(diǎn)P( , )在橢圓E上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為 的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓E交于C,D,
證明:︳MA︳︳MB︳=︳MC︳︳MD︳
【答案】
(1)
解:如圖,
由題意可得 ,解得a2=4,b2=1,
∴橢圓E的方程為
(2)
證明:
設(shè)AB所在直線方程為 ,
聯(lián)立 ,得x2+2mx+2m2﹣2=0.
∴△=4m2﹣4(2m2﹣2)=8﹣4m2>0,即 .
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
則 , ,
|AB|= .
∴x0=﹣m, ,即M( ),
則OM所在直線方程為 ,
聯(lián)立 ,得 或 .
∴C(﹣ , ),D( ,﹣ ).
則︳MC︳︳MD︳=
= = .
而︳MA︳︳MB︳= (10﹣5m2)= .
span>∴︳MA︳︳MB︳=︳MC︳︳MD︳.
【解析】(Ⅰ)由題意可得a=2b,再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程,結(jié)合隱含條件求得a,b得答案;
(2)設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,求出弦長及AB中點(diǎn)坐標(biāo),得到OM所在直線方程,再與橢圓方程聯(lián)立,求出C,D的坐標(biāo),把︳MA︳︳MB︳化為 ,再由兩點(diǎn)間的距離公式求得︳MC︳︳MD︳的值得答案;
本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,訓(xùn)練了計算能力,是中檔題.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)設(shè)a=b=4,若函數(shù)f(x)有三個不同零點(diǎn),求c的取值范圍;
(3)求證:a2﹣3b>0是f(x)有三個不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD與ADEF為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點(diǎn).求證:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N+
(1)若a2 , a3 , a2+a3成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)雙曲線x2﹣ =1的離心率為en , 且e2=2,求e12+e22+…+en2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(22x+1)+mx的圖象經(jīng)過點(diǎn) .
(Ⅰ)求m值并判斷的奇偶性;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=log4(2x+x+a)f(x),若關(guān)于x的方程f(x)=g(x)在x∈[-2,2]上有且只有一個解,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)已知函數(shù)(R).
(1)當(dāng)取什么值時,函數(shù)取得最大值,并求其最大值;
(2)若為銳角,且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)某氣象中心觀察和預(yù)測:發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動,其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示.過線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即時間t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).
(1)當(dāng)t=4時,求s的值;
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城,如果會,在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城?如果不會,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
,過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),與分別交于.
(1)寫出的平面直角坐標(biāo)系方程和的普通方程;
(2)若成等比數(shù)列,求的值.
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