Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c．
（1）求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程；
（2）設(shè)a=b=4，若函數(shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；
（3）求證：a2﹣3b＞0是f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)斜率為k=f′（0）=b，切點(diǎn)為（0，c），可得切線(xiàn)的方程為y=bx+c

（2）

解：設(shè)a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，

由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，

由g（x）=x3+4x2+4x的導(dǎo)數(shù)g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），

當(dāng)x＞﹣ 或x＜﹣2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；

當(dāng)﹣2＜x＜﹣ 時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．

即有g(shù)（x）在x=﹣2處取得極大值，且為0；

g（x）在x=﹣ 處取得極小值，且為﹣ ．

由函數(shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，可得﹣ ＜﹣c＜0，

解得0＜c＜ ，

則c的取值范圍是（0， ）

（3）

證明：若f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，令f（x）=0，

可得f（x）的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)．

即有f（x）有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，

即為導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2+2ax+b的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即為a2﹣3b＞0；

若a2﹣3b＞0，即有導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2+2ax+b的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)c=0，a=b=4時(shí)，滿(mǎn)足a2﹣3b＞0，

即有f（x）=x（x+2）2，圖象與x軸交于（0，0），（﹣2，0），則f（x）的零點(diǎn)為2個(gè)．

故a2﹣3b＞0是f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件．

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)，進(jìn)而得到所求切線(xiàn)的方程；
（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極值，由﹣c介于極值之間，解不等式即可得到所求范圍；（3）先證若f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，令f（x）=0，可得單調(diào)區(qū)間有3個(gè)，求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，運(yùn)用判別式大于0，可得a2﹣3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3個(gè)零點(diǎn)．
不同考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得極值，考查化簡(jiǎn)整理的圓能力，屬于中檔題．