Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點(diǎn)，且AB₁⊥A₁C
（I）求證：AB₁⊥A₁D；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-D的平面的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）首先利用線面垂直的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成線線垂直，進(jìn)一步利用線面垂直的判定定理得到線面垂直進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成線線垂直．
（Ⅱ）AB₁交A₁D于E，過A作AF⊥A₁C于點(diǎn)F，連結(jié)EF，說明∠AFE為所求二面角的平面角，通過解三角形求解sin∠AFE即可．

解答： 證明：（I）如圖，∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，
又CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD，
由于AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面AB₁，
又AB₁?平面AB₁，CD⊥AB₁，AB₁⊥A₁C，CD∩A₁C=C
所以：AB₁⊥平面A₁CD，
又A₁D?平面A₁CD，
∴AB₁⊥A₁D．
（Ⅱ）由（I）可知AB₁⊥平面A₁CD，交A₁D于E，
∴過A作AF⊥A₁C于點(diǎn)F，連結(jié)EF，
∴A₁C⊥平面AEF，∴A₁C⊥EF，
則∠AFE為所求二面角的平面角，
在Rt△A₁AD中，AA₁=2，AD=2，A₁D=2

2

，
∴AE=

AA1•AD

A1D

=

2

，同理求得AF=

AA1•AC

A1C

=

6

13

，
∴sin∠AFE=

AE

AF

=

2

6 13

=

26

6

．
二面角A-A₁C-D的平面的正弦值為：

26

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，二面角的平面角的求法，考查計(jì)算能力以及空間想象能力．