Question

機(jī)床廠今年年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用，計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年開(kāi)始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬(wàn)元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬(wàn)元，設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬(wàn)元．
(Ⅰ)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(Ⅱ)從第幾年開(kāi)始，該機(jī)床開(kāi)始盈利（盈利額為正值）；
(Ⅲ)使用若干年后，對(duì)機(jī)床的處理方案有兩種：
(1)當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以30萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床；
(2)當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以12萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床．
請(qǐng)你研究一下哪種方案處理較為合理？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ) ；（Ⅱ）從第3年開(kāi)始盈利；（Ⅲ）方案Ⅰ比較合理.

解析試題分析：（Ⅰ）使用x年的總收入為，每年支付的維修保養(yǎng)費(fèi)用構(gòu)成一等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式可得使用x年的總支出，總收入減去總支出便可得使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額，從而得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
（Ⅱ）解不等式便可得的范圍，從而知道從從第幾年開(kāi)始盈利.
（Ⅲ)）(1)年平均盈利額為：
對(duì)可用重要不等式求出其最大值，從而可確定什么時(shí)候年平均盈利額達(dá)到最大值，可求出工廠獲得的總利潤(rùn)．
(2)盈利額y=－2x²＋40x－98是一個(gè)二次函數(shù)，可通過(guò)配方求出其最大值，從而可確定什么時(shí)候盈利額達(dá)到最大值，可求出工廠獲得的總利潤(rùn)．
將二者進(jìn)行比較，便知哪個(gè)方案更合理．
試題解析：（Ⅰ）依題得（xN*）.    3分
（Ⅱ）解不等式得.
.又∵xN*,∴3≤x≤17，故從第3年開(kāi)始盈利.     7分
（Ⅲ）(1)年平均盈利額為：
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=7時(shí)等號(hào)成立．
所以到2008年，年平均盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利12×7+30＝114萬(wàn)元．
(2)盈利額y=－2x²＋40x－98=－(x－10)²＋102，當(dāng)x=10時(shí)，y_max=102.
故到2011年，盈利額達(dá)到最大值，工廠獲利102+12＝114萬(wàn)元 .        
盈利額達(dá)到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的時(shí)間較短，故方案Ⅰ比較合理．        12分
考點(diǎn)：1、函數(shù)的應(yīng)用；2、函數(shù)的最值；3、重要不等式.