Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=x²-16x+q
（1）若當(dāng)x∈[-1，1]時，方程f（x）=-3有解，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）問：是否存在常數(shù)q（0＜q＜10），使得當(dāng)x∈[q，10]時，f（x）的最小值為-54？若存在，求出q的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=f（x）+3在區(qū)間[-1，1]上存在零點，根據(jù)函數(shù)零點的存在定理得到關(guān)于q的不等式組，解出即可；
（2）通過討論q的范圍結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于q的方程，解出q的值即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-16x+q在區(qū)間[-1，1]上滿足f（x）=-3，
∴函數(shù)g（x）=f（x）+3在區(qū)間[-1，1]上存在零點可得，$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{20+q≥0}\\{-12+q≤0}\end{array}\right.$，∴-20≤q≤12，
即q∈[-20，12]；
（2）假設(shè)存在常數(shù)q（0＜q＜10），使得當(dāng)x∈[q，10]時，f（x）的最小值為-54，
∵f（x）=x²-16x+q=（x-8）²+q-64，x∈[q，10]
∴當(dāng)0＜q＜8時，f（x）_min=q-64=-54，∴q=10∉（0，8）；
當(dāng)q≥8時，f（x）在區(qū)間[q，10]上單調(diào)遞增，f（x）_min=q²-15q=-54，解得q=6（舍去）或q=9
故存在常數(shù)q=9，使得當(dāng)x∈[q，10]時，f（x）的最小值為-54．

點評 本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)，考察零點的判定定理，考察分類討論思想，是一道中檔題．