Question

12．已知直線過定點P（2，1）．
（1）求經(jīng)過點P且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程；
（2）若過點P的直線l與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線的方程，代入P點，求出即可；
（2）由題意設(shè)直線的截距式方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1（a，b＞0），可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=1，由基本不等式可得ab≥8，可得△AOB的面積S≥4，可得此時直線的方程．

解答 解：（1）∵直線過定點P（2，1）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，
設(shè)直線方程為：x+y=a，將P（2，1）代入得：a=3，
故直線方程是：x+y-3=0；
（2）由題意設(shè)直線的截距式方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1（a，b＞0），
∵直線過P（2，1），∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=1，
∴1=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$≥2 $\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{1}}$，∴ab≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2}{a}$=$\frac{1}$即a=4且b=2時取等號，
∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$ab≥4，
∴△AOB面積的最小值為4，此時直線l的方程為$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1，
化為一般式方程可得x+2y-4=0．

點評 本題考查直線的截距式方程，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．