Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，平面，，，，，且是的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的大��；
（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與所成的角為？ 若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

證明：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接.
在△中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210858936836.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以且.
所以四邊形為平行四邊形，
所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210859092465.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
故平面.                                     …………… 4分
解法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210857751410.png" style="vertical-align:middle;" />平面，，故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.           ……………1分                                             
由已知可得

（Ⅰ）， .      ……………2分
設(shè)平面的一個(gè)法向量是.
由得  
令，則.                               ……………3分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232108595911372.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，又平面，所以平面.      ……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一個(gè)法向量是.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210857751410.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210859295503.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面.
故是平面的一個(gè)法向量.
所以，又二面角為銳角，
故二面角的大小為.                           ……………10分
（Ⅲ）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得與所成的角為.
不妨設(shè)（），則.
所以，
由題意得，
化簡(jiǎn)得，
解得.
所以在線段上不存在點(diǎn)，使得與所成的角為.…………14分

略