Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 滿足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N* ， 且S3=15．
（1）求a1 ， a2 ， a3的值；
（2）求數列{an}的通項公式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，得：

S2=4a3﹣20 ①

又S3=S2+a3=15 ②

聯立①②解得：a3=7．

再在Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得：

a1=2a2﹣7 ③

又S3=a1+a2+7=15 ④

聯立③④得：a2=5，a1=3．

∴a1，a2，a3的值分別為3，5，7

（2）

解：∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1．

由此猜測an=2n+1．

下面由數學歸納法證明：

①當n=1時，a1=3=2×1+1成立．

②假設n=k時結論成立，即ak=2k+1．

那么，當n=k+1時，

由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，得 ，

，

兩式作差得： ．

∴

= =2（k+1）+1．

綜上，當n=k+1時結論成立．

∴an=2n+1．

【解析】（1）在數列遞推式中取n=2得一關系式，再把S3變?yōu)镾2+a3得另一關系式，聯立可求a3 ， 然后把遞推式中n取1，再結合S3=15聯立方程組求得a1 ， a2；（2）由（1）中求得的a1 ， a2 ， a3的值猜測出數列的一個通項公式，然后利用數學歸納法證明．
【考點精析】關于本題考查的數列的通項公式，需要了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．