Question

10．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-4t+a\\ y=3t-1\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，設(shè)圓M的方程為ρ²-6ρsinθ=-8．
（Ⅰ）求圓M的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l截圓M所得弦長為$\sqrt{3}$，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)條件、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，把圓M的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ） 把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)條件以及點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式，求得a的值．

解答 解：（Ⅰ） 因?yàn)閳AM的方程為 ρ²-6ρsinθ=-8，化為直角坐標(biāo)方程為x²+y²-6y=-8，即x²+（y-3）²=1，
所以圓M的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-3）²=1．
（Ⅱ） 把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=-4t+a\\ y=3t-1\end{array}\right.$（t為參數(shù)）消去參數(shù)，化化為普通方程得：3x+4y-3a+4=0．
因?yàn)橹本�l截圓M所得弦長為$\sqrt{3}$，且圓M的圓心M（0，3）到直線l的距離d=$\frac{|0+12-3a+4|}{\sqrt{9+16}}$=$\sqrt{1{-（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$，
解得a=$\frac{9}{2}$，或 a=$\frac{37}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．