Question

15．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，點E是SD的中點，O是AC與BD的交點．
（1）求證：OE∥平面SBC；
（2）求點E到平面SBC的距離．

Answer 1

分析 （1）由線面平行的判定定理即可得到結(jié)論．
（2）過D做DF⊥SC，垂足為F，證明DF⊥平面SBC，求出DF，利用點E是SD的中點，求點E到平面SBC的距離．

解答 （1）證明：連接OE，則O是BD的中點，
∵E是SD的中點，
∴OE是△BDS的中位線，
∴OE∥SB，
∵OE?平面SBC，SB?平面SBC，
∴OE∥平面SBC；
（2）解：過D做DF⊥SC，垂足為F，
∵SD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴SD⊥BC，
∵BC⊥CD，SD∩CD=D，
∴BC⊥平面SCD，
∴BC⊥DF，
∵SC∩BC=C，
∴DF⊥平面SBC，
∵SD=AD=2，
∴DF=$\sqrt{2}$，
∵點E是SD的中點，
∴點E到平面SBC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查線面平行的判斷以及點E到平面SBC的距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．