Question

4．已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a，b，c，且a²-ab+b²=c²．
（1）求角C；
（2）若△ABC為銳角三角形，求$\sqrt{3}$sinBcosB+cos²B的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理計算cosC即可得出C；
（2）先求出B的范圍，再利用二倍角公式與和角公式化簡$\sqrt{3}$sinBcosB+cos²B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得出范圍．

解答 解：（1）∵a²-ab+b²=c²，∴a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）$\sqrt{3}$sinBcosB+cos²B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B+$\frac{1}{2}$cos2B$+\frac{1}{2}$=sin（2B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵△ABC為銳角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，∴$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$＜2B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴0＜sin（2B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{2}$．
即$\sqrt{3}$sinBcosB+cos²B的取值范圍是（0，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了余弦定理，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．