Question

12．已知數(shù)列{a_n}，定義其平均數(shù)是V_n=$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$（n≥N^*））
（1）若數(shù)列{a_n}的平均數(shù)V_n=2n-1，求a_n
（2）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其平均數(shù)為V_n，V_n＞t-$\frac{1}{n}$對一切n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把V_n=2n-1代入V_n=$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$，得到${a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}=2{n}^{2}+n$，進(jìn)一步得到${a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n-1}=2（n-1）^{2}+（n-1）$，兩式作差可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式并求得平均數(shù)為V_n，代入V_n＞t-$\frac{1}{n}$，分離參數(shù)t后求得$\frac{{2}^{n}}{n}$的最小值得答案．

解答 解：（1）∵V_n=$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$，∴$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$=2n+1，
變形得${a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}=2{n}^{2}+n$，①
當(dāng)n≥2時(shí)，有${a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n-1}=2（n-1）^{2}+（n-1）$，②
①-②得a_n=4n-1（n≥2），
又當(dāng)n=1時(shí)，V₁=a₁=2×1+1=3，適合a_n=4n-1，
故a_n=4n-1；
（2）∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$，其平均數(shù)${V}_{n}=\frac{{2}^{n}-1}{n}$，
由已知V_n＞t-$\frac{1}{n}$對一切n∈N*恒成立，即$\frac{{2}^{n}-1}{n}＞t-\frac{1}{n}$對一切n∈N*恒成立，
也就是t$＜\frac{{2}^{n}}{n}$恒成立，令f（n）=$\frac{{2}^{n}}{n}$，則$\frac{f（n+1）}{f（n）}=\frac{2n}{n+1}=2-\frac{2}{n+1}$，
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{f（n+1）}{f（n）}=1$，當(dāng)n＞1，n∈N^*時(shí)，$\frac{f（n+1）}{f（n）}＞1$，
∴f（n）≥f（1）=2．
因此實(shí)數(shù)t的范圍是t＜2．

點(diǎn)評 本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用分離參數(shù)法求解恒成立問題，是中檔題．