Question

已知雙曲線C的中心在坐標原點O，其焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率e=2，拋物線D的頂點在原點，以x軸為對稱軸，兩曲線在在第一象限內相交于點A，且AF₁⊥AF₂，△AF₁F₂的面積為3
（Ⅰ）求雙曲線C和拋物線D的方程；
（Ⅱ）一條直線l與雙曲線C的兩支分別交于M，N兩點，且線段MN的中點在拋物線D上，求直線l在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1，a＞0，設拋物線方程為y²=2px，p＞0，由AF₁⊥AF₂，解得a=1，p=

9 7

28

，由此能求出雙曲線C和拋物線D的方程．
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=kx+m x2- y2 3 =1

，得（3-k²）x²-2kmx-（m²+3）=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出直線l在y軸上的截距m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線C的中心在坐標原點O，其焦點F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率e=2，
∴

c

a

=2，∴c=2a，b=

3

a，
∴設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1，a＞0，
設拋物線方程為y²=2px，p＞0，…（1分）
設A（x₀，y₀），得x₀＞0，y₀＞0，由AF₁⊥AF₂，
得

AF1

•

AF2

=0，F(xiàn)₁（-2a，0），F(xiàn)₂（2a，0）
∴（x₀+2a，y₀）•（x₀-2a，y₀）=0，
x02+y02=4a2．又

x02

a2

-

y02

3a2

=1，x₀＞0，y₀＞0，
所以x0=

7

2

a，y0=

3

2

a，…（2分）
S△AF1F2=

1

2

|F1F2|y₀=

1

2

•4a•

3

2

a=3a2=3，解得a=1．…（3分）
由于點A在拋物線上，所以y02=2px0，
（

3

2

a）²=2p•

7

2

a，解得p=

9 7

28

，…（4分）
故雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1，
拋物線D的方程為y2=

9 7

14

x．…（5分）
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由

y=kx+m x2- y2 3 =1

，
得（3-k²）x²-2kmx-（m²+3）=0，x2+x1=

2km

3-k2

，x1x2=

m2+3

k2-3

，…（6分）
因為直線l與雙曲線的兩支相交，所以x1x2=

m2+3

k2-3

＜0，
即-

3

＜k＜

3

．…（7分）
設線段MN的中點為Q（x_Q，y_Q），則xQ=

x1+x2

2

=

km

3-k2

，
yQ=

y1+y2

2

=

k

2

(x1+x2)+m=

3m

3-k2

，
因為點Q在拋物線D上，所以yQ2=

9 7

14

xQ，
即（

3m

3-k2

）²=

9 7

14

•

km

3-k2

，…（8分）
當m=0時，直線l過原點，M、N中點為原點O，在拋物線上，滿足題意…（9分）
當m≠0時，m=

7

14

(3k-k3)，令t（k）=

7

14

(3k-k3)，
得t′(k)=

7

14

(3-3k2)，
由-

3

＜k≤

3

，t′（k）=0，得k=±1，
此時t（k）在（-

3

，-1]，[1，

3

）上都是減函數(shù)，在（-1，1）上為增函數(shù) …（10分）
又t（-

3

）=0，t（

3

）=0，t（1）=

7

7

，t（-1）=-

7

7

，
-

7

7

≤m＜0或0＜m≤

7

7

．…（11分）
所以直線l在y軸上的截距m的取值范圍是[-

7

7

，

7

7

]．…（12分）

點評：本題考查雙曲線和拋物線的方程的求法，考查直線在y軸上的截距的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)單調性的合理運用．