Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過F₁作傾斜角為30°的直線交雙曲線的右支于點(diǎn)P，若∠PF₁F₂的平分線與∠F₁PF₂的平分線的交點(diǎn)為Q（1，1），則雙曲線的漸近線方程為（　　）

• A． y=±$\sqrt{3+2\sqrt{3}}$x
• B． y=±$\sqrt{2\sqrt{3}-3}$x
• C． y=±（$\sqrt{3}$+1）x
• D． y=±（$\sqrt{3}$-1）x

Answer 1

分析 由題意△F₁PF₂的內(nèi)心坐標(biāo)為Q（1，1），a=1，利用過F₁作傾斜角為30°的直線的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），Q到直線的距離為$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}-1+\frac{\sqrt{3}}{3}c|}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}$=1，求出c，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意△F₁PF₂的內(nèi)心坐標(biāo)為Q（1，1），∴a=1，
∵過F₁作傾斜角為30°的直線的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+c），
∴Q到直線的距離為$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}-1+\frac{\sqrt{3}}{3}c|}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}$=1，
∴c=1+$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{3+2\sqrt{3}}$，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{3+2\sqrt{3}}$x．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．