Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxsin（

π

3

-x）+

3

sinxcosx+cos²x
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若0≤x≤

π

2

，求函數(shù)f（x）的最值及取得最值時相應(yīng)x的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換對y=f（x）化簡可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），利用正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性即可求得函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）0≤x≤

π

2

⇒

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與閉區(qū)間上的最值即可求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=2sinxsin（

π

3

-x）+

3

sinxcosx+cos²x
=2sinx（

3

2

cosx-

1

2

sinx）+

3

2

sin2x+cos²x
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）…3分
T=

2π

2

=π…4分
2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z；…7分
（2）因為0≤x≤

π

2

，得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，…8分
2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）_max=2；
2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時，f（x）_min=-1；
所以，x=

π

6

時，f（x）_max=2；x=

π

2

時，f（x）_min=-1…12分

點評：本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性與閉區(qū)間上的最值，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．