Question

15．將函數(shù)f（x）=sin（$\frac{3π}{2}$+x）（cosx-2sinx）+sin²x的圖象向左平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x），則g（x）具有性質(zhì)（　�。�

• A． 在（0，$\frac{π}{4}}$）上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)
• B． 周期為π，圖象關(guān)于（$\frac{π}{4}，0}$）對(duì)稱
• C． 最大值為$\sqrt{2}$，圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對(duì)稱
• D． 在（-$\frac{π}{2}，0}$）上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)

Answer 1

分析 利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、以及它的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．

解答 解：將函數(shù)f（x）=sin（$\frac{3π}{2}$+x）（cosx-2sinx）+sin²x=-cosx （cosx-2sinx）+sin²x 
=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$） 的圖象向左平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{8}$）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin2x的圖象，
則g（x）為奇函數(shù)，且在（0，$\frac{π}{4}}$）上單調(diào)遞增，故A正確、D不正確；
由于當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值為$\sqrt{2}$，故它的圖象不關(guān)于（$\frac{π}{4}，0}$）對(duì)稱，故排除B；
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，g（x）=0，故g（x）的圖象不關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對(duì)稱，故C不正確；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．