Question

4．已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），觀察下列算式：
a₁•a₂=log₂3•log₃4=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$=2；
a₁•a₂•a₃•a₄•a₅•a₆=log₂3•log₃4•…•${log}_{{7}^{8}}$=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•…•$\frac{lg8}{lg7}$=3…；
若a₁•a₂•a₃…a_m=2016（m∈N^*），則m的值為2²⁰¹⁶-2．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中的等式，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，可得a₁•a₂•a₃•…•${a}_{{2}^{n}-2}$=n（n≥2），進而得到答案．

解答 解：∵a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），
∴a₁•a₂=log₂3•log₃4=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$=2；
a₁•a₂•a₃•a₄•a₅•a₆=log₂3•log₃4•…•${log}_{{7}^{8}}$=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•…•$\frac{lg8}{lg7}$=3；
…
歸納可得：a₁•a₂•a₃•…•${a}_{{2}^{n}-2}$=n（n≥2），
若a₁•a₂•a₃•…•a_m=2016，則m=2²⁰¹⁶-2，
故答案為：2²⁰¹⁶-2

點評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．