Question

6．已知α為銳角，cos（α$+\frac{4n+1}{4}$π）=$\frac{1}{2}$，（n∈Z），求cos（α-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 對n的奇偶性分類，由誘導公式和已知式子可得cos（α+$\frac{π}{4}$），再由同角三角函數基本關系可得sin（α+$\frac{π}{4}$），再由誘導公式可得cos（α-$\frac{π}{4}$）=sin（α+$\frac{π}{4}$），代入可得答案．

解答 解：當n為奇數時，由誘導公式可得cos（α$+\frac{4n+1}{4}$π）=cos（nπ+α+$\frac{π}{4}$）=-cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∴cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$，結合α為銳角可得sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos（α-$\frac{π}{4}$）=cos[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{2}$]=cos[$\frac{π}{2}$-（α+$\frac{π}{4}$）]=sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
當n為偶數時，由誘導公式可得cos（α$+\frac{4n+1}{4}$π）=cos（nπ+α+$\frac{π}{4}$）=cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∴cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，結合α為銳角可得sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos（α-$\frac{π}{4}$）=cos[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{2}$]=cos[$\frac{π}{2}$-（α+$\frac{π}{4}$）]=sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
綜上可得cos（α-$\frac{π}{4}$）的值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點評 本題考查三角函數公式，涉及誘導公式和同角三角函數基本關系和分類討論的思想，屬中檔題．