Question

18．已知函數(shù)$f（x）=a{x^2}+blnx，a，b∈R，f（1）=\frac{1}{2}，f'（2）=1$．
（Ⅰ）求f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間$[{1，\sqrt{e}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，由條件解方程可得a，b，求得切點和切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，求得f（x）在區(qū)間$[{1，\sqrt{e}}]$上的單調區(qū)間，可得極小值也為最小值，求得端點處的函數(shù)值，可得最大值，即可得到函數(shù)的值域．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax²+blnx的導數(shù)為f′（x）=2ax+$\frac{x}$，
由f（1）=$\frac{1}{2}$，f′（2）=1，可得a=$\frac{1}{2}$，4a+$\frac{2}$=1，
解方程可得b=-2，即有f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，f′（1）=-1，
則在點（1，f（1））處的切線方程為y-$\frac{1}{2}$=-（x-1），
即為2x+2y-3=0；
（Ⅱ）f（x）的導數(shù)為f′（x）=x-$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-\sqrt{2}）（x+\sqrt{2}）}{x}$，
當1＜x＜$\sqrt{2}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{e}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有f（x）在x=$\sqrt{2}$處取得極小值，也為最小值，且為1-ln2；
f（1）=$\frac{1}{2}$，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2}$e-1，
由f（$\sqrt{e}$）-f（1）=$\frac{e-3}{2}$＜0，即有f（$\sqrt{e}$）＜f（1），
則f（x）的值域為[1-ln2，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調區(qū)間、極值和最值，考查運算能力，屬于中檔題．