Question

13．已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q是面對(duì)角線A₁C₁上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)A₁，C₁）．給出以下四個(gè)結(jié)論：
①存在P，Q兩點(diǎn)，使BP⊥DQ；
②存在P，Q兩點(diǎn)，使BP，DQ與直線B₁C都成45°的角；
③若PQ=1，則四面體BDPQ的體積一定是定值；
④若PQ=1，則四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積之和為定值．
以上各結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 令P與A₁點(diǎn)重合，Q與C₁點(diǎn)重合，可判斷①．當(dāng)P與A₁點(diǎn)重合時(shí)，BP與直線B₁C所成的角最小，此時(shí)兩異面直線夾角為60°，可判斷②．根據(jù)平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個(gè)底面均為平面OBD，高之和為PQ的棱錐（其中O為上底面中心），可判斷③；根據(jù)四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積不變，可判斷④．

解答 解：對(duì)于①．當(dāng)P與A₁點(diǎn)重合，Q與C₁點(diǎn)重合時(shí)，BP⊥DQ，故①正確；
對(duì)于②．當(dāng)P與A₁點(diǎn)重合時(shí)，BP與直線B₁C所成的角最小，此時(shí)兩異面直線夾角為60°，故②錯(cuò)誤．
對(duì)于③．設(shè)平面A₁B₁C₁D₁兩條對(duì)角線交點(diǎn)為O，則易得PQ⊥平面OBD．平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個(gè)底面均為平面OBD，高之和為PQ的棱錐，故四面體BDPQ的體積一定是定值，故③正確．
對(duì)于④．四面體BDPQ在上下兩個(gè)底面上的投影是對(duì)角線互相垂直且對(duì)角線長(zhǎng)度均為1的四邊形，其面積為定值．四面體BDPQ在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為上底為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，下底和高均為1的梯形，其面積為定值．故四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值．故④正確．
綜上可得：只有①③④正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了綜合考查了正方體的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、棱錐的體積計(jì)算公式、直角三角形的邊角關(guān)系、異面直線所成的角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．