Question

過(guò)點(diǎn)P（2，3）作直線l分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A（a，0），B（0，b）兩點(diǎn)
（1）求|PA|+|PB|的最小值．
（2）當(dāng)△AOB（O為原點(diǎn)）的面積S最小時(shí)，求直線l的方程，并求出S的最小值．
（3）當(dāng)|PA|•|PB|取得最小值時(shí)，求直線?的方程．（提示：設(shè)∠OAB=θ，以θ為參變量求解，x+y-5=0）

Answer 1

考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程,直線的截距式方程

專題：不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）由截距式寫出過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線方程，結(jié)合直線過(guò)定點(diǎn)P的關(guān)系式，求出|PA|+|PB|的最小值；
（2）寫出△AOB的面積S=

1

2

ab，結(jié)合直線過(guò)定點(diǎn)P的關(guān)系式，求出S的最小值；
（3）設(shè)出直線?的方程

x

a

+

y

b

=1（a＞0、b＞0），∠BAO=θ，求出|PA|、|PB|的表達(dá)式；
再求|PA|•|PB|取最小值時(shí)a、b滿足的條件是什么，從而求出對(duì)應(yīng)直線?的方程．

解答： 解：（1）∵過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）；
且點(diǎn)P在直線AB上，∴

2

a

+

3

b

=1；
∴|PA|+|PB|=

a2+b2

≥

2ab

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，此時(shí)

2

a

+

3

a

=1，
∴a=b=5時(shí)，取“=”；
∴|PA|+|PB|的最小值是5

2

；
（2）△AOB的面積為S=

1

2

ab，
∵

2

a

+

3

b

=1，
∴2

2 a • 3 b

≤

2

a

+

3

b

=1，
∴ab≥24，當(dāng)且僅當(dāng)

2

a

=

3

b

，
即a=4、b=6時(shí)取“=”；
∴a=4，b=6時(shí)，△AOB的面積取得最小值S=12；
（3）設(shè)?：

x

a

+

y

b

=1（a＞0、b＞0），∠BAO=θ，如圖所示；

則|PA|=

3

sinθ

，|PB|=

b-3

sinθ

，
sinθ=

b

a2+b2

；
∴|PA|•|PB|=

3(b-3)(a2+b2)

b2

=3（b-3）[(

a

b

)2+1]；
又P（2，3）在?上，∴

2

a

+

3

b

=1；
∴

a

b

=

a-2

3

，
∴|PA|•|PB|=3（

3a

a-2

-3）[(

a-2

3

)2+1]=3×

6

a-2

×[

(a-2)2

9

+1]；
設(shè)a-2=t（t＞0），則|PA|•|PB|=

18

t

（

t2

9

+1）=2（t+

9

t

）≥12，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

9

t

，即t=3時(shí)“=”成立，這時(shí)a=b=5；
∴直線?的方程為：x+y-5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目，屬于難題．