【題目】在四棱錐中, 平面, 是的中點(diǎn), , , .
(1)求證: ;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)取的中點(diǎn),連接,則,先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明;進(jìn)而可得,再由線面判定定理即可證明平面,從而可得;(2)建立空間坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的的一個(gè)法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,即可求二面角的余弦值.
試題解析:(1)取的中點(diǎn),連接,則.
因?yàn)?/span>,所以.
因?yàn)?/span>平面, 平面,所以又
所以平面
因?yàn)?/span>平面,所以;又,所以;
又因?yàn)?/span>, ,所以平面
因?yàn)?/span>平面,所以.
(2)以為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則, , , , ,
, .
設(shè)平面的法向量為,則所以
令,所以.
由(1)知平面, 平面,所以.
同理,所以平面
所以平面的一個(gè)法向量.
所以,
由圖可知,二面角為銳角,
所以二面角的余弦值為.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)、利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某正弦交流電的電壓v(單位V)隨時(shí)間t(單位:s)變化的函數(shù)關(guān)系是v=120 sin(100πt﹣ ),t∈[0,+∞).
(1)求該正弦交流電電壓v的周期、頻率、振幅;
(2)若加在霓虹燈管兩端電壓大于84V時(shí)燈管才發(fā)光,求在半個(gè)周期內(nèi)霓虹燈管點(diǎn)亮的時(shí)間?( 取 ≈1.4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,兩圓內(nèi)切于點(diǎn)T,大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C.TA,TB與小圓分別相交于點(diǎn)E,F.FE的延長(zhǎng)線交兩圓的公切線TP于點(diǎn)P.
求證:(1) =;
(2)AC·PF=BC·PT.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程.
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
(3)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 上的最小值,并求使y=f(x)取得最小值時(shí)的x的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè), 是橢圓上的兩點(diǎn),橢圓的離心率為,短軸長(zhǎng)為2,已知向量, ,且, 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若直線過橢圓的焦點(diǎn),( 為半焦距),求直線的斜率的值;
(2)試問: 的面積是否為定值?如果是,請(qǐng)給予證明;如果不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測(cè),每一件一等品都能通過檢測(cè),每一件二等品通過檢測(cè)的概率為.現(xiàn)有10件產(chǎn)品,其中6件是一等品,4件是二等品.
(1)隨機(jī)選取1件產(chǎn)品,求能夠通過檢測(cè)的概率;
(2)隨機(jī)選取3件產(chǎn)品,其中一等品的件數(shù)記為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:x∈A,且A={x|a﹣1<x<a+1},命題q:x∈B,且B={x|x2﹣4x+3≥0} (Ⅰ)若A∩B=,A∪B=R,求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)若p是q的充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】通過隨機(jī)詢問110名性別不同的中學(xué)生是否愛好運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表:
男 | 女 | 總計(jì) | |
愛好 | 40 | 20 | 60 |
不愛好 | 20 | 30 | 50 |
總計(jì) | 60 | 50 | 110 |
由K2= 得,K2= ≈7.8
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參照附表,得到的正確結(jié)論是( )
A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”
D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”
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