Question

【題目】已知函數(shù)．

（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．

（）如果函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍．

（）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（）．（）．（）見解析．

【解析】試題分析： 求出當(dāng)時(shí)的的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，即可求得切線方程為；

由在上單調(diào)遞減，等價(jià)于在上恒成立，變形得到恒成立，運(yùn)用基本不等式求得右邊的最小值，即可得到的取值范圍；

求出，求得單調(diào)區(qū)間和最小值，討論最小值的符號(hào)，對(duì)討論，當(dāng)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

解析：（）當(dāng)時(shí)， ， ，

∴， ，

∴在點(diǎn)處的切線方程為： ，即．

（）函數(shù)在上單調(diào)遞減，

等價(jià)于在上恒成立，

即恒成立，

∵，當(dāng)且僅當(dāng)，

即時(shí)，等號(hào)成立．

∴，即的取值范圍是．

（），

令，得，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

∴．

①當(dāng)時(shí)， ， 在定義域內(nèi)無零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)， ，則在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)， ，

由，

所以在增區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)；

，

設(shè)，則，

∵，

∴，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，即，

∴在減區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，

則時(shí)， 在定義域內(nèi)有兩個(gè)兩點(diǎn)，

綜上所述：當(dāng)時(shí)， 在定義域內(nèi)無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在定義域內(nèi)有唯一的兩點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)．