Question

已知f（x）=x²-2x，x∈[t，t+2]，
（1）求f（x）的最大值M（t）；
（2）求f（x）的最小值m（t）；
（3）求g（t）=M（t）-m（t）的表達(dá)式，并作出圖象，指出g（t）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸x=1，討論區(qū)間[t，2t]和對(duì)稱軸的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性或比較端點(diǎn)值便可求出f（x）的最大值M（t）；
（2）根據(jù)（1）求最大值的過(guò)程即可求出最小值m（t）；
（3）將求得的M（t），m（t）帶入g（t），即可求出g（t），作出g（t）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象求g（t）的最小值即可．

解答： 解：（1）f（x）=x²-2x=（x-1）²-1；
①若t+2≤1，即t≤-1，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞減，∴M（t）=f（t）=t²-2t；
②若t＜1＜t+2，即-1＜t＜1：若-1＜t≤0，則f（t）＞f（t+2），∴M（t）=f（t）=t²-2t；若0＜t＜1，則f（t+2）＞f（t），∴M（t）=f（t+2）=t²+2t；
③若t≥1，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，∴M（t）=f（t+2）=t²+2t；
∴M(t)=

t2-2t t≤0 t2+2t t＞0

；
（2）由（1）知，t≤-1時(shí)，m（t）=f（t+2）=t²+2t；
-1＜t＜1時(shí)，m（t）=f（1）=-1；
t≥1時(shí)，m（t）=f（t）=t²-2t；
∴m(t)=

t2+2t t≤-1 -1 -1＜t＜1 t2-2t t≥1

；
（3）由（1）（2）得：
g(t)=

-4t t≤-1 t2-2t+1 -1＜t≤0 t2+2t+1 0＜t＜1 4t t≥1

，圖象如下：
由圖象可看出g（t）的最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：考查根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性以及端點(diǎn)值，頂點(diǎn)求f（x）最值的方法，以及通過(guò)圖象求最小值的方法．