Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx，x∈R．
 （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；  
 （Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先把函數(shù)通過(guò)恒等變換變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出周期．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)已知的定義域求出函數(shù)的值域．

解答： 解：函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx=1+cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1+1
所以：函數(shù)的周期為：T=π
（Ⅱ）由于x∈[-

π

6

，

π

4

]
所以：
2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]
sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋篬0，3]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變形，正弦型函數(shù)的周期，根據(jù)定義域求正弦型函數(shù)的值域．