Question

D（a，0）是定圓x²+y²=r²內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形DEPF為矩形，點(diǎn)E、F在圓上，M為對角線的交點(diǎn)．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）當(dāng)r=5，a=1，且OM取最小值時，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：（1）由點(diǎn)E、F在圓x²+y²=r²上，可設(shè)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（rcosα，rsinα），（rcosβ，rsinβ），P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則根據(jù)DE⊥DF，

DP

=

DE

+

DF

，可得動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）當(dāng)r=5，a=1時，x²+y²=49，由當(dāng)x=-7，y=0時，OM取最小值，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，則E，F(xiàn)為以M為圓心，以4為半徑的圓（x+3）²+y²=16與x²+y²=25的交點(diǎn)，聯(lián)立兩圓方程，可得點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵D（a，0）是定圓x²+y²=r²內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形DEPF為矩形，點(diǎn)E、F在圓上，
∴可設(shè)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（rcosα，rsinα），（rcosβ，rsinβ），P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
由D點(diǎn)坐標(biāo)為：（a，0），
∴

DE

=（rcosα-a，rsinα），

DF

=（rcosβ-a，rsinβ），
由DE⊥DF可得：（rcosα-a）（rcosβ-a）+r²sinαsinβ=0，
即r²cosαcosβ+r²sinαsinβ-（cosα+cosβ）ra+a²=0，…①
由

DP

=

DE

+

DF

=（x-a，y）=（r（cosα+cosβ）-2a，r（sinα+sinβ））可得：
x-a=r（cosα+cosβ）-2a，即x=r（cosα+cosβ）-a，y=r（sinα+sinβ），
則x²+y²=2r²+2（r²cosαcosβ+r²sinαsinβ-（cosα+cosβ）ra+a²）-a²，
由①得：x²+y²=2r²-a²；
（2）當(dāng)r=5，a=1時，x²+y²=49，
由M為對角線的交點(diǎn)，故M的坐標(biāo)為（

x+1

2

，

y

2

），
當(dāng)x=-7，y=0時，OM取最小值，此時M的坐標(biāo)為（-3，0），
此時E，F(xiàn)為以M為圓心，以4為半徑的圓（x+3）²+y²=16與x²+y²=25的交點(diǎn)，
由

(x+3)2+y2=16 x2+y2=25

得：

x=-3 y=4

或

x=-3 y=-4

，
故點(diǎn)E、F的坐標(biāo)為（-3，4）或（-3，-4）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是軌跡方程，向量垂直的充要條件，圓與圓的交點(diǎn)，是向量與圓及三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大．