Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

4

5

，左、右焦點分別為F₁和F₂，橢圓C與x軸的兩交點分別為A、B，點P是橢圓上一點（不與點A、B重合），∠F₁PF₂=2β．
（1）若β=45°，三角形F₁PF₂的面積為36，求橢圓C的方程；
（2）在條件（1）下，過點Q（0，10）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，且|MN|=

90 2

17

，求l的方程及tan∠AMB．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意三角形F₁PF₂為直角三角形，所以|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，即（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁||PF₂|=
|F₁F₂|²，結(jié)合三角形F₁PF₂的面積為36，可求得b²=36，利用橢圓C的離心率為

4

5

，可得a²=100，從而可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+10，代入橢圓方程9x²+25y²-900=0，得（9+25k²）x²+500kx+1600=0，運用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及弦長公式，解方程即可得到k²=1，進(jìn)而求得M，N的坐標(biāo)，求出直線BM的斜率，再由到角公式，即可得到tan∠AMB．

解答： 解：（1）∵∠F₁PF₂=2β=90°
∴三角形F₁PF₂為直角三角形，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
∴（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁||PF₂|=|F₁F₂|²，
∵三角形F₁PF₂的面積為36，
∴

1

2

|PF₁||PF₂|=36，∴|PF₁||PF₂|=72
∴（2a）²-2×72=（2c）²，∴b²=36，
∵橢圓C的離心率為

4

5

，
則

c2

a2

=

16

25

，即

a2-b2

a2

=

16

25

，∴a²=100，
∴橢圓C的方程為

x2

100

+

y2

36

=1．
（2）設(shè)直線l：y=kx+10，代入橢圓方程9x²+25y²-900=0，
得（9+25k²）x²+500kx+1600=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則△=（500k）²-4×1600（9+25k²）＞0，
x₁+x₂=-

500k

9+25k2

，x₁x₂=

1600

9+25k2

，
則|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

( -500k 9+25k2 )2- 6400 9+25k2

=

90 2

17

，
即有9（9+25k²）²=289（1+k²）（50k²-32），即8825k⁴+1152k²-9977=0，
解得k²=1，或-

9977

8825

（舍去），檢驗得△＞0，則k=±1．
則直線l的方程為：y=±x+10；
若k=1，則有34x²+500x+1600=0，解得x₁=-

80

17

，x₂=-10．
即有M（-

80

17

，

90

17

），A（-10，0），B（10，0），
由于k_AM=1，k_BM=-

9

25

，
則tan∠AMB=

- 9 25 -1

1+(- 9 25 )×1

=-

17

8

．
若k=-1，同樣有tan∠AMB=-

17

8

．
故l的方程為y=x+10或y=-x+10，tan∠AMB=-

17

8

．

點評：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查焦點三角形的面積計算，考查勾股定理的運用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，得到x的方程，運用韋達(dá)定理，注意判別式大于0，以及弦長公式，和到角公式，考查運算能力，屬于中檔題．