Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx+\frac{1}{2}（a∈R）$
（1）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=-1，求證：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x²．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，然后求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，推a討論，導(dǎo)函數(shù)的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（2）構(gòu)造函數(shù)$F（x）={x^2}-f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx-\frac{1}{2}$，利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}-alnx+\frac{1}{2}（a∈R）$的定義域?yàn)閤＞0．
$f'（x）=x-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-a}}{x}$．
若a≤0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，即f（x）的單調(diào)區(qū)間為：（0，+∞）．
若a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，得x$＞\sqrt{a}$
即f（x）的單調(diào)區(qū)間為（$\sqrt{a}$，+∞），減區(qū)間為：（0，$\sqrt{a}$）…（6分）
（2）證明：設(shè)$F（x）={x^2}-f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx-\frac{1}{2}$則$F'（x）=x-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-1}}{x}=\frac{（x-1）（x+1）}{x}＞0$
∴F（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，且F（1）=0
即F′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立
∴當(dāng)x＞1，f（x）＜x²…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的最值，考查構(gòu)造法以及分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．