Question

13．已知數(shù)列：{a_n}滿足（2n+1）a_n=（2n-1）a_n+1（n∈N^*），且a₁=1．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)（2n+1）a_n=（2n-1）a_n+1（n∈N^*）變形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{2n-1}$，進(jìn)而利用累乘法計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵（2n+1）a_n=（2n-1）a_n+1（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{2n-1}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=$\frac{3}{1}$•$\frac{5}{3}$•…•$\frac{2n-1}{2n-3}$
=$\frac{2n-1}{1}$
=2n-1，
故數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．