Question

9．已知橢圓E的方程：$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$，P為橢圓上的一點（點P在第三象限上），圓P 以點P為圓心，且過橢圓的左頂點M與點C（-2，0），直線MP交圓P與另一點N．
（Ⅰ）求圓P的標準方程；
（Ⅱ）若點A在橢圓E上，求使得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$取得最小值的點A的坐標；
（Ⅲ）若過橢圓的右頂點的直線l上存在點Q，使∠MQN為鈍角，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設點P（m，n），利用$m=\frac{-10+（-2）}{2}=-6$，以及橢圓方程求出m，n，然后求出半徑，即可求解圓的方程．
（Ⅱ）由題意求出N的坐標，設A（x，y），表示出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$，求出最小值時點A的坐標．
（ III）設直線l：y=k（x-10），利用直線與圓相交，圓心P到直線l的距離小于半徑，列出不等式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）橢圓E的方程：$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$，得M（-10，0），C（-2，0）…（1分）
設點P（m，n），則有$m=\frac{-10+（-2）}{2}=-6$，
又：$\frac{m^2}{100}+\frac{n^2}{25}=1$，∴n=-4，即P（-6，-4），…（2分）
所以$r=PM=4\sqrt{2}$---------------------------------------------------（3分）
所以圓P的標準方程為（x+6）²+（y+4）²=32----------------------------（4分）
（Ⅱ）∵P為MN的中點，可得N（-2，-8）
設A（x，y），∴$\overrightarrow{AM}=（{-10-x，-y}），\overrightarrow{AN}=（{-2-x，-8-y}）$，∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（{-10-x}）（{-2-x}）+（{-y}）（{-8-y}）={x^2}+12x+20+{y^2}+8y$---------（9分）∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}={（{x+6}）^2}+{（{y+4}）^2}-32≥-32$，
得x=-6，y=-4時，∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$最小---------------------------------（7分）
經(jīng)檢驗，點A在橢圓$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$上∴A（-6，-4）--------------------------（8分）
（ III）設直線l：y=k（x-10），即直線與圓相交------------------------------（9分）
所以圓心P到直線l的距離$d=\frac{{|{-6k+4-10k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}＜4\sqrt{2}$--------------------------（10分）
得$\frac{{|{1-4k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}＜\sqrt{2}$
得$\frac{{4-\sqrt{30}}}{14}＜k＜\frac{{4+\sqrt{30}}}{14}$--------------------------（12分）

點評 本題考查直線與橢圓的標準方程的綜合應用，圓的方程的綜合應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．