Question

10．等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₄-a₂=8，a₃+a₅=26，則S_n的最小項是1；若記T_n=$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$，如果存在正整數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，T_n≤M都成立．則M的最小值是3．

Answer 1

分析 由條件求得數(shù)列的通項公式a_n 以及前n項和公式S_n，可得S_n的最小項．再根據(jù) T_n=$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=2-$\frac{1}{n}$≤M對一切正整數(shù)n都成立，求得M的最小值．

解答 解：等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，∵a₄-a₂=8=2d，∴公差d=4．
再根據(jù)a₃+a₅=2a₁+6d=26，a₁=1，故a_n=1+（n-1）4=4n-3，
故S_n的最小項為a₁=1．
∵S_n=n×1+$\frac{n（n-1）•4}{2}$=2n²-n，∴T_n=$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=2-$\frac{1}{n}$．
由于存在正整數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，T_n≤M都成立，則M的最小值是3，
故答案為：1，3．

點評 本題主要考查等差數(shù)列得定義、性質(zhì)以及前n項和，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．