Question

6．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c，\overrightarrow d$及實(shí)數(shù)x，y滿足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=1，\overrightarrow c=\overrightarrow a+（{{x^2}-3}）\overrightarrow b$，$\overrightarrow d=-y\overrightarrow a+x\overrightarrow b，\overrightarrow a⊥\vec b，\vec c⊥\vec d$，且$|{\vec c}|≤\sqrt{10}$．
（1）將y表示成x的函數(shù)y=f（x）并求定義域；
（2）$x∈（{1，\sqrt{6}}）$時(shí)，不等式f（x）≥mx-16恒成立，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）由$|{\vec c}|≤\sqrt{10}$求得x的范圍，再由$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowdcsn382$求得函數(shù)解析式；
（2）把f（x）代入f（x）≥mx-16，分離參數(shù)m，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{{x}^{3}-3x+16}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值得答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，又|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，
∴$|\overrightarrow{c}{|}^{2}$=$|\overrightarrow{a}+（{x}^{2}-3）\overrightarrow{|}^{2}$=1+（x²-3）²=x⁴-6x²+10≤10，
得$-\sqrt{6}≤x≤\sqrt{6}$．
又$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowmec0krd$，∴$\overrightarrow{c}•\overrightarrowif8az7z=0$，
即$[\overrightarrow{a}+（{x}^{2}-3）\overrightarrow]•（-y\overrightarrow{a}+x\overrightarrow）$=-y+x（x²-3）=0，
得y=x³-3x（$-\sqrt{6}≤x≤\sqrt{6}$）；
（2）$x∈（{1，\sqrt{6}}）$時(shí)，不等式f（x）≥mx-16恒成立，
即x³-3x≥mx-16恒成立，也就是mx≤x³-3x+16對(duì)于x∈（1，$\sqrt{6}$）恒成立，
即m≤$\frac{{x}^{3}-3x+16}{x}$對(duì)于x∈（1，$\sqrt{6}$）恒成立，
令g（x）=$\frac{{x}^{3}-3x+16}{x}$，則g′（x）=$\frac{2（{x}^{3}-8）}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x=2時(shí)，g（x）有最小值為g（2）=9．
∴m≤9．
故m的范圍為（-∞，9]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．