Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{5}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（sinx，-$\frac{1}{2}$），函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{m}$$+\overrightarrow{n}$）$•\overrightarrow{n}$
（Ⅰ）求f（x）的解析式與最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中A為銳角，a=2$\sqrt{3}$，c=4，且f（x）恰好在[0，$\frac{π}{2}$]上取得最大值，求角B的值以及△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性即可得解；
（Ⅱ）由x的范圍，根據(jù)題意可求A，由正弦定理可求C，B，b，c，從而根據(jù)三角形面積公式即可得解；方法二，由余弦定理可求b，結(jié)合三角形面積公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（$\overrightarrow{m}$$+\overrightarrow{n}$）$•\overrightarrow{n}$=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{3}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+2=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2其最下正周期為π…6分
（Ⅱ）∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{6}≤x≤\frac{5π}{6}$，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值．即2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，∴A=$\frac{π}{3}$．
由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{4×sin\frac{π}{3}}{2\sqrt{3}}$=1，
∴C=$\frac{π}{2}$，則B=$\frac{π}{6}$，則b=$\frac{1}{2}$c=2，
∴S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$…12分
方法二：由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴12=b²+16-4b，
∴b=2，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．