Question

17．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x²+y²≤1，則
（1）（x+2）²+（y-2）²的最小值是9-4$\sqrt{2}$；
（2）|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是15．

Answer 1

分析 （1）畫(huà)出x²+y²≤1表示的平面區(qū)域，可得單位圓面，（x+2）²+（y-2）²的幾何意義為單位圓面內(nèi)的點(diǎn)與A（-2，2）的距離的平方，連接AO，與圓的交點(diǎn)即為所求；
（2）由于-1≤x≤1，-1≤y≤1，可去掉絕對(duì)值可得10-3x-4y，設(shè)10-3x-4y=t，當(dāng)直線3x+4y+t-10=0與圓x²+y²=1相切時(shí)，t取得最值，計(jì)算即可得到所求最大值．

解答 解：（1）畫(huà)出x²+y²≤1表示的平面區(qū)域，
可得單位圓面，（x+2）²+（y-2）²的幾何意義為
單位圓面內(nèi)的點(diǎn)與A（-2，2）的距離的平方，
連接AO，與圓的交點(diǎn)即為所求，可得最小值為
（|AO|-1）²=（$\sqrt{4+4}$-1）²=9-4$\sqrt{2}$；
（2）由于-1≤x≤1，-1≤y≤1，
可得-3≤2x+y≤3，-4≤x+3y≤4，
則|2x+y-4|+|6-x-3y|=4-2x-y+6-x-3y=10-3x-4y，
設(shè)10-3x-4y=t，當(dāng)直線3x+4y+t-10=0與圓x²+y²=1相切時(shí)，t取得最值．
由相切的條件：d=r，即為$\frac{|t-10|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1，解得t=5或15．
故最大值為15．
故答案為：9-4$\sqrt{2}$，15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，注意運(yùn)用圓外一點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的距離的最大值為d+r，最小值為d-r，以及直線和圓相切的條件：d=r，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．