17.已知實數(shù)x,y滿足x2+y2≤1,則
(1)(x+2)2+(y-2)2的最小值是9-4$\sqrt{2}$;
(2)|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是15.

分析 (1)畫出x2+y2≤1表示的平面區(qū)域,可得單位圓面,(x+2)2+(y-2)2的幾何意義為單位圓面內(nèi)的點與A(-2,2)的距離的平方,連接AO,與圓的交點即為所求;
(2)由于-1≤x≤1,-1≤y≤1,可去掉絕對值可得10-3x-4y,設(shè)10-3x-4y=t,當(dāng)直線3x+4y+t-10=0與圓x2+y2=1相切時,t取得最值,計算即可得到所求最大值.

解答 解:(1)畫出x2+y2≤1表示的平面區(qū)域,
可得單位圓面,(x+2)2+(y-2)2的幾何意義為
單位圓面內(nèi)的點與A(-2,2)的距離的平方,
連接AO,與圓的交點即為所求,可得最小值為
(|AO|-1)2=($\sqrt{4+4}$-1)2=9-4$\sqrt{2}$;
(2)由于-1≤x≤1,-1≤y≤1,
可得-3≤2x+y≤3,-4≤x+3y≤4,
則|2x+y-4|+|6-x-3y|=4-2x-y+6-x-3y=10-3x-4y,
設(shè)10-3x-4y=t,當(dāng)直線3x+4y+t-10=0與圓x2+y2=1相切時,t取得最值.
由相切的條件:d=r,即為$\frac{|t-10|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1,解得t=5或15.
故最大值為15.
故答案為:9-4$\sqrt{2}$,15.

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系,注意運用圓外一點和圓上的點的距離的最大值為d+r,最小值為d-r,以及直線和圓相切的條件:d=r,考查運算能力,屬于中檔題.

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