Question

7．在如圖所示的平面中，點C為半圓的直徑AB延長線上的一點，AB=BC=2，過動點P作半圓的切線PQ，若PC=$\sqrt{2}$PQ，則△PAC的面積的最大值為4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 以AB所在直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用兩點間距離公式推導(dǎo)出點P的軌跡方程是以（-3，0）為圓心，以r=2$\sqrt{5}$為半徑的圓，由此能求出△PAC的面積的最大值．

解答 解：以AB所在直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，
建立平面直角坐標(biāo)系，
∵AB=BC=2，∴C（3，0），
設(shè)P（x，y），
∵過動點P作半圓的切線PQ，PC=$\sqrt{2}$PQ，
∴$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}$，
整理，得x²+y²+6x-11=0，
∴點P的軌跡方程是以（-3，0）為圓心，以r=2$\sqrt{5}$為半徑的圓，
∴當(dāng)點P在直線x=-3上時，△PAC的面積的最大，
∴（S_△PAC）_max=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．
故答案為：4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．