Question

11．如圖1，已知⊙O的直徑AB=4，點(diǎn)C、D為⊙O上兩點(diǎn)，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F(xiàn)為弧BC的中點(diǎn)、將⊙O沿直徑AB折起成兩個(gè)半平面（如圖2）．
（1）求證：OF∥平面ACD；
（2）（文） 當(dāng)折起的兩個(gè)半平面垂直時(shí)，在AD上是否存在點(diǎn)E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，試指出點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）（理） 當(dāng)三棱錐C-ADO體積最大時(shí)，求二面角C-AD-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出∠COB=90°，∠FOB=45°，從而OF∥AC，由此能證明OF∥平面ACD．
（2）（文）推導(dǎo)出OE⊥AD，AD⊥OC，從而AD⊥平面OCE，由此推導(dǎo)出在AD上是存在點(diǎn)E，使得平面OCE⊥平面ACD，E為AD中點(diǎn)．
（3）（理）當(dāng)三棱錐C-ADO體積最大時(shí)，平面ABC⊥平面ABD，過(guò)O作OE⊥AD于E，連CE，則CO⊥平面ABD，推導(dǎo)出CO⊥AD，AD⊥CE，則∠CEO是二面角C-AD-B的平面角，由此能求出二面角C-AD-B的正弦值．

解答 證明：（1）∵∠CAB=45°，∴∠COB=90°，
又∵F為弧BC的中點(diǎn)，∴∠FOB=45°，
∴OF∥AC，
又AC?平面ACD，OF?平面ACD，
∴OF∥平面ACD．      （6分）
解：（2）在AD上是存在點(diǎn)E，使得平面OCE⊥平面ACD，E為AD中點(diǎn)．
理由如下：
∵OA=OD，∴OE⊥AD，
又OC⊥AB，且兩半圓所在平面互相垂直，
∴OC⊥平面OAD，又AD?平面OAD，∴AD⊥OC，
由OE∩OC=O，得AD⊥平面OCE，
又AD?平面ACD，∴平面OCE⊥平面ACD．（14分）
（3）（理）當(dāng)三棱錐C-ADO體積最大時(shí)，平面ABC⊥平面ABD，
過(guò)O作OE⊥AD于E，連CE，
∵CO⊥AB，∴CO⊥平面ABD．
又∵AD?平面ABD，故CO⊥AD，
∴AD⊥平面CEO，AD⊥CE，
則∠CEO是二面角C-AD-B的平面角，
又∠OAD=60°，OA=2，故$OE=\sqrt{3}$．
由CO⊥平面ABD，OE?平面ABD，得△CEO為直角三角形，
又CO=2，故$CE=\sqrt{7}$，∴cos∠CEO=$\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}$=$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
故二面角C-AD-B的正弦值為$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．   （14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．